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试验与事件
满足以下条件的试验称为随机试验：
- 试验可以在相同条件下重复进行；
- 试验的所有可能结果是已知的，且不止一个；
- 每次试验前不能确定会出现哪个结果。
样本空间 ($\Omega$)：随机试验所有可能结果的集合。
样本点 (ω)：样本空间中的每一个元素，即试验的每一个可能结果。
随机事件：样本空间的子集，通常用大写字母 A, B, C 等表示。
事件的运算公式就是集合的运算公式：
德摩根公式：
证明思路：对于任意样本点 ω，
$\omega \in$ 左边 $\Leftrightarrow$ $\omega$ 不属于任何 $A_j$ $\Leftrightarrow$ 对所有 j，$\omega \in \bar{A}_j$ $\Leftrightarrow$ $\omega \in$ 右边
事件 A 与 B 互斥 ($AB = \emptyset$) 与事件 A 与 B 对立 ($A = \bar{B}$) 是不同的概念。对立一定互斥，但互斥不一定对立。
- 1 证明事件的运算公式：$A \cup B = A + \bar{A}B$，$A = AB + A\bar{B}$
- 2 用集合的运算表达以下事件：(a) A 发生，B 和 C 不发生；(b) A 不发生，B 和 C 发生
古典概型
设试验 S 的样本空间 $\Omega$ 是有限集合，$A \subset \Omega$。如果 $\Omega$ 的每个样本点发生的可能性相同，则称
为试验 S 下 A 发生的概率，简称事件 A 的概率。能够用定义 2.1 描述的模型称为古典概率模型，简称古典概型。
从定义 2.1 可以看出，概率 P 有以下性质：
掷一枚均匀的硬币，用 A 表示正面朝上。求 P(A)。
解：
样本空间 $\Omega$ = {正面，反面}，故 #$\Omega$ = 2。
事件 A = {正面}，故 #A = 1。
由古典概率公式：
在 4 个白球、6 个红球中任取 4 个，求取到 2 个白球和 2 个红球的概率。
解：
用 A 表示取到 2 个白球和 2 个红球。
样本空间：从 10 个球中任取 4 个的所有取法，$\#\Omega = C_{10}^4$
事件 A：从 4 个白球中取 2 个，从 6 个红球中取 2 个，$\#A = C_4^2 \cdot C_6^2$
几何概率
设样本空间 $\Omega$ 是一个可度量的几何区域，其度量（长度、面积或体积）为 $S_\Omega$。如果样本点落入 $\Omega$ 中任何区域的概率与该区域的度量成正比，则事件 A(即 $\Omega$ 的某个子区域）的概率为：
甲乙两人约定在 0 到 1 小时内的某时刻在某地会面，先到者等待另一人 20 分钟后离去。求两人能会面的概率。
解：
设甲、乙到达时刻分别为 x, y（以小时为单位），则样本空间为：
两人能会面的条件是 $|x - y| \leq \frac{1}{3}$（20分钟 = 1/3小时），即事件 A。
几何概率是古典概率的推广，将有限等可能推广到无限等可能（连续情形）。几何概率的计算关键在于正确建立几何模型。
概率空间
设 $\Omega$ 是样本空间，$\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的某些子集构成的集合。如果 $\mathcal{F}$ 满足：
- $\Omega \in \mathcal{F}$
- 若 $A \in \mathcal{F}$，则 $\bar{A} \in \mathcal{F}$（对补运算封闭）
- 若 $A_n \in \mathcal{F}$（$n = 1, 2, \cdots$），则 $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}$（对可列并封闭）
则称 $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$-代数（或 $\sigma$-域）。
设 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的 $\sigma$-代数，P 是定义在 $\mathcal{F}$ 上的实值函数。如果 P 满足：
- 非负性：对任意 $A \in \mathcal{F}$，$P(A) \geq 0$
- 规范性：$P(\Omega) = 1$
- 可列可加性：若 $A_1, A_2, \cdots$ 两两互斥，则 $P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$
则称 P 为 $\mathcal{F}$ 上的概率测度，简称概率。
三元组 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 称为概率空间，其中：
- $\Omega$ 是样本空间
- $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的 $\sigma$-代数（事件域）
- P 是 $\mathcal{F}$ 上的概率测度
概率空间是概率论的公理化基础。在实际应用中，我们通常不需要显式地构造概率空间，但理解其结构有助于深入理解概率论的本质。
概率的性质
两个事件的加法公式：
三个事件的加法公式：
n 个事件的加法公式（容斥原理）：
单调递增序列的极限：
若 $A_1 \subset A_2 \subset \cdots$，则
单调递减序列的极限：
若 $A_1 \supset A_2 \supset \cdots$，则
减法公式：若 $B \subset A$，则 $P(A - B) = P(A) - P(B)$
单调性：若 $B \subset A$，则 $P(B) \leq P(A)$
次可加性：$P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$
条件概率和乘法公式
设 A, B 是两个事件，且 $P(B) > 0$。在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率定义为：
条件概率 P(A|B) 的几何意义：在已知 B 发生的前提下，将样本空间"缩小"为 B，然后计算 A 在新样本空间中所占的比例。
两个事件的乘法公式：
n 个事件的乘法公式：
袋中有 5 个白球和 3 个黑球。不放回地依次取出 2 个球，求第一个是白球且第二个也是白球的概率。
解：
设 $A_1$ = "第一个是白球"，$A_2$ = "第二个是白球"。
由乘法公式：
事件的独立性
设 A, B 是两个事件。如果满足：
则称事件 A 与 B 相互独立。
互斥：$P(AB) = 0$（A 和 B 不能同时发生）
独立：$P(AB) = P(A)P(B)$（A 的发生不影响 B 发生的概率）
两个概念完全不同。若 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，则 A, B 互斥时必不独立。
设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是 n 个事件。如果对于其中任意 2 个、3 个、...、n 个事件的积，都有：
则称 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立。
若 A, B 独立，则以下各对事件也独立：
- A 与 $\bar{B}$
- $\bar{A}$ 与 B
- $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$
某系统由两个独立工作的元件串联而成，元件 1、2 的可靠性（正常工作的概率）分别为 0.9 和 0.8。求系统的可靠性。
解：
设 $A_i$ = "元件 i 正常工作"，则 $P(A_1) = 0.9$，$P(A_2) = 0.8$。
串联系统正常工作需要两个元件都正常，由独立性：
全概率公式与贝叶斯公式
设 $B_1, B_2, \cdots, B_n$ 是一组事件，如果满足：
- $B_i B_j = \emptyset$，当 $i \ne j$（两两互斥）
- $B_1 + B_2 + \cdots + B_n = \Omega$（完备）
则称 $\{B_1, B_2, \cdots, B_n\}$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个分割（或完备事件组）。
设 $\{B_1, B_2, \cdots, B_n\}$ 是样本空间的一个分割，且 $P(B_i) > 0$，则对任意事件 A：
证明：
由于 $\{B_1, B_2, \cdots, B_n\}$ 是分割，所以
且 $AB_1, AB_2, \cdots, AB_n$ 两两互斥，由概率的可加性：
设 $\{B_1, B_2, \cdots, B_n\}$ 是样本空间的一个分割，$P(A) > 0$，$P(B_i) > 0$，则：
先验概率：$P(B_k)$ — 在观察到事件 A 之前，对 $B_k$ 发生概率的估计
后验概率：$P(B_k|A)$ — 在观察到事件 A 发生后，对 $B_k$ 发生概率的更新
似然：$P(A|B_k)$ — 在 $B_k$ 发生的条件下观察到 A 的概率